SEMI FINAL ( 2 APRIL 2006)
(1)
Siswa SMP dan SMA mengikuti ujian matematika di Gedung
Prof. Soedarto Undip. Jika seorang siswa SMP keluar gedung, maka 1/7 dari siswa
yang berada di gedung adalah siswa SMP. Jika dua siswa SMA keluar gedung, maka
1/5 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP.
Tentukan perbandingan
banyaknya siswa SMA : SMP.
Solusi :
Misalkan
x = banyaknya siswa SMP dan y = total siswa. Dari soal diperoleh : x – 1 = (y -
1)/7 dan x = (y – 2)/5
Sistem persamaan linear yang terbentuk
7x
– y = 6
5x – y = -2.
Jika persamaan pertama dikurangi persamaan kedua,
didapat
2x
= 8 Þ x = 4 Þ y = 22.
Dengan demikian,
SMA : SMP = (22-4) : 4 = 18 : 4 = 9 : 2
Jawaban : 9 : 2.
_______________
(2) Diketahui tiga bilangan bulat a, b, dan c. Jika 
maka
maka
7a + b - c = …
Solusi
Diketahui
maka 
maka
atau 30(bc + 1) = 7(abc + a + c).
Hal ini berarti 7 habis membagi 30(bc + 1). Karena
7 tidak habis membagi 30 maka 7 habis membagi bc + 1, atau bc = 6.
Ada dua kemungkinan yang
dihasilkan :
·
b = 2 dan c = 3. Hal ini berakibat, 30(bc + 1) = 7(abc + a + c)
Þ
30 = 6a + a + 3
Þ
a = 27/7 (tidak mungkin)
·
b = 3 dan c = 2. Hal ini berakibat, 30(bc + 1) = 7(abc + a + c)
Þ
30 = 6a + a + 2
Þ a = 4
Jadi 7a + b - c
= 7.4 + 3 – 2 = 29.
_______________
(3)
Suatu persegi panjang dibagi menjadi empat persegi
panjang kecil seperti gambar di bawah ini :
Jika semua sisi persegi
panjang kecil adalah bilangan asli, tentukan luas persegi panjang ABCD ?
Solusi :
Perhatikan gambar
di bawah ini :
Salah satu sisi CXYF bersekutu
dengan sisi DZFX. Oleh karena itu panjang FY adalah faktor persekutuan 8 dan
18, yakni : 2.
Hal ini berarti panjang FZ = 9
cm dan XF = 4 cm, sehingga WF = 6 cm. Dengan demikian, luas WZBF = (9 x 6) cm2
= 54 cm2.
Jadi luas ABCD = (24+8+18+54)
cm2 = 104 cm2.
________________
(4) Diberikan dua persegi panjang seperti
gambar di bawah ini :
Luas daerah yang diarsir
adalah ....
Solusi :
Buatlah garis bantu,
sehingga diperoleh gambar berikut :
luas yang diarsir = luas ABCD
– luas ADF – luas BEF – luas CDE
= (6 x 8) – (6x3)/2
– (5x3)/2 – (8x3)/2
= 48 – 9 – 7,5 – 12
= 19,5.
Jawaban : 19,5
_______________
(5) Jika x adalah bilangan bulat positif dan
2a + x = b
x + b = a
a + b = c
nilai terbesar yang mungkin
dari a + b + c = ? Jelaskan jawaban
anda.
Solusi :
Misalkan
2a + x = b ............................................................... (1)
x + b = a ............................................................... (2)
a + b = c ............................................................... (3)
Perhatikan peersaman (1) dan
(2). Dengan metode substitusi, didapat 2a + x = a – x sehingga a = -2x. Hal ini berakibat b = -3x dan c = -5x.
Jadi a + b + c = -2x – 3x – 5x = -10x. Diketahui x adalah bilangan bulat positif, maka
nilai terbesar a + b + c = -10x = -10.
Jawaban : -10
______________
(6) Peserta upacara bendera yang dihadiri oleh
600 siswa disusun dalam x baris. Tiap barisnya diisi oleh y siswa. Jika susunan
barisan diubah dengan menambah 5 baris, maka tiap barisnya berkurang 6 siswa.
Tentukan banyaknya baris sebelum diubah?
Penyelesaian.
Diketahui xy = 600 dan (x+5)(y-6)
= 600.
(x+5)(y-6) = 600 Þ
(x+5)(600/x-6) = 600
Þ
(x+25)(x-20) = 0
Þ x
= -25 atau x = 20.
Jawaban : 20
__________
(7) Jika 
, 
, dan 
, maka 
, , dan , maka
Penyelesaian.
Diketahui 1/a + 1/b = 2, 1/a +
1/c = 7, dan 1/b + 1/c = ½.
(2+7+1/2)/2 = 19/4
Jawaban : 19/4
___________
(8) Jika a : b = 2 : 5 maka nilai 
sama dengan
sama dengan
Penyelesaian.
Gunakan = 
= 
= 
= = =
= 
(9) Diberikan lingkaran berjari-jari r dan
tiga garis singgungnya membentuk segitiga siku-siku. Jika 12 cm, 13cm, dan 5 cm
adalah sisi-sisi segitiga, tentukan luas lingkaran di dalam segitiga ini ?
Solusi :
Perhatikan gambar berikut :
Diperoleh hubungan : r = 
dengan c = hipotenusa.
dengan c = hipotenusa.
Maka r = (12 + 5 – 13)/2 = 2, sehingga luas
lingkaran = 4p.
Jawaban : 4p.
